Bahas Matriks 2x2 dan 3x3

Kupas habis materi tentang Matriks, mulai dari operasi perhitungan dalam matriks seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, determinan, invers, sifat sifat matriks, Transpose, dan lainnya. Dan tidak lupa, setiap materi diberikan contoh agar kamu lebih paham.

Pengertian Matriks

Matriks adalah susunan bilangan dalam bentuk baris dan kolom yang disatukan oleh tanda kurung, yang dilambangkan dengan huruf kapital.

Syarat Penulisan atau Notasi Matriks

Untuk penulisan matriks tidak terlalu banyak aturan dalam penulisannya. Tetapi dalam penulisan variabel Matriks harus dilambangkan dengan huruf besar. Dan elemen elemennya dituliskan dalam huruf kecil.

Jenis-Jenis Matriks

1. Matriks Nol, yaitu matriks yang semua komponennya adalah $0$.

$A=\begin{pmatrix} 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0 \end{pmatrix}$

2. Matriks Baris, yaitu matriks yang hanya memiliki $1$ baris.

$A=\begin{pmatrix} 3& 9&5 \end{pmatrix}$

3. Matriks kolom, yaitu matriks yang hanya memiliki $1$ kolom.

$A=\begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 8\end{pmatrix}$

4. Matriks segitiga atas, yaitu matriks yang komponen di bawah diagonal utamanya adalah $0$.

$A=\begin{pmatrix} 2& 3& 5\\ 0& 1& 7\\ 0& 0& 1 \end{pmatrix}$

5. Matriks segitiga bawah, yaitu matriks yang komponen di atas diagonal utamanya adalah $0$.

$A=\begin{pmatrix} 12& 0& 0\\ 4& 1& 0\\ 14& 7& 6 \end{pmatrix}$

6. Matriks persegi, yaitu matriks yang memiliki yang jumlah baris sama dengan jumlah kolom.

$A=\begin{pmatrix} 23& 15& 45\\ 20& 28& 12\\ 1& 6& 34 \end{pmatrix}$

7. Matriks diagonal, yaitu matriks yang hampir sama dengan matriks persegi dengan komponen diagonal utamanya $\neq 0$

$A=\begin{pmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0 & 13 \end{pmatrix}$

8. Matriks Identitas, hampir sama dengan matriks diagonal, hanya saja komponen diagonalnya harus $=1$

$A=\begin{pmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{pmatrix}$

9. Matriks skalar, yaitu matriks persegi yang memiliki komponen yang sama di diagonal utamanya. Jika komponen diagonalnya adalah $1$ maka disebut matriks Identitas

$A=\begin{pmatrix} 7& 0& 0\\ 0& 7& 0\\ 0& 0& 7 \end{pmatrix}$

10. Matriks simetris, yaitu matriks memiliki elemen A_(i,j) sama dengan elemen A_(j,i). Lihat contoh di bawah, bisa kita lihat kalau A_(1,2) sama dengan elemen A_(2,1), A_(1,3) sama dengan elemen A_(3,1), A_(2,3) sama dengan elemen A_(3,2)

$A=\begin{pmatrix} 1& 2& 3\\ 2& 4& 5\\ 3& 5& 6 \end{pmatrix}$

Operasi Matriks

Operasi dalam matriks itu ada penjumlahan, pengurangan, dan perkalian.

Apakah tidak ada pembagian?

Jawabnya, tidak ada. Karena hal ini digantikan oleh operasi perkalian matriks dengan invers matriks itu sendiri. Bagaimana bisa? Mari kita bahas operasi yang ada pada Matriks.

1. Penjumlahan

Syarat kedua matriks agar bisa dijumlahkan adalah harus memiliki ordo yang sama. Kalau ordo matriks yang ingin dijumlahkan tidak sama, maka matriks tersebut tidak dapat dijumlahkan.

Ingat kalau

$\begin{pmatrix} 1& 2\\ 2& 4\\ 3& 5 \end{pmatrix}$$\neq$ $\begin{pmatrix} 1& 2& 0\\ 2& 4& 0\\ 3& 5& 0 \end{pmatrix}$

Sifat-Sifat Penjumlahan Matriks

• $A + B = B + A$
• $(A + B) + C = A + (B + C)$

Contoh Soal

Tentukan nilai A + B jika

$A=\begin{pmatrix} 1& 2\\ 3& 4\\ 4& 5 \end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix} 11& 32\\ 17& 19\\ 13& 23 \end{pmatrix}$

Penyelesaian

$A=\begin{pmatrix} 1& 2\\ 3& 4\\ 4& 5 \end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix} 11& 32\\ 17& 19\\ 13& 23 \end{pmatrix}$

$A+B=\begin{pmatrix} 1+11& 2+32\\ 3+17& 4+19\\ 4+13& 5+23 \end{pmatrix}$

$A+B=\begin{pmatrix} 12& 34\\ 20& 23\\ 17& 28 \end{pmatrix}$

2. Pengurangan

Sama seperti penjumlahan pada matriks, syarat agar kedua matriks dapat dikurangkan adalah harus memiliki ordo yang sama. Kalau matriks yang akan dikurangkan tidak memiliki ordo yang sama, maka matriks tersebut tidak bisa dikurangkan.

Sifat-sifat Pengurangan Matriks

• $A - B \neq B - A$

Contoh Soal

Tentukan nilai A - B jika

$A=\begin{pmatrix} 1& 2\\ 3& 4\\ 4& 5 \end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix} 11& 32\\ 17& 19\\ 13& 23 \end{pmatrix}$

Penyelesaian

$A=\begin{pmatrix} 1& 2\\ 3& 4\\ 4& 5 \end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix} 11& 32\\ 17& 19\\ 13& 23 \end{pmatrix}$

$A-B=\begin{pmatrix} 1-11& 2-32\\ 3-17& 4-19\\ 4-13& 5-23 \end{pmatrix}$

$A-B=\begin{pmatrix} -10& -30\\ -14& -15\\ -9& -18 \end{pmatrix}$

3. Perkalian

Nanti kita bisa mendapatkan 2 bentuk perkalian dalam materi matriks ini. Yaitu :

• Bilangan $\times$ Matriks
• Matriks $\times$ Matiks

Perkalian Skalar (Bilangan $\times$ Matriks)

Maksud dari perkalian skalar dengan matriks ini adalah suatu bilangan dikalikan dengan sebuah matriks.

Contoh

$5 \times \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & 10 \\ 15 & 20 \end{pmatrix}$

Sifat-Sifat Perkalian Skalar pada Matriks

• $A(B+C) = AB + AC$

Contoh $5(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix})$ $=\begin{pmatrix} 1 \times 5 & 2 \times 5 \\ 3 \times 5 & 4 \times 5 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 5 \times 5 & 6 \times 5 \\ 7 \times 5 & 8 \times 5 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 5 & 10 \\ 15 & 20 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 25 & 30 \\ 35 & 40 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 30 & 40 \\ 50 & 60 \end{pmatrix}$ Kalau kita lakukan penjumlahan yang ada di dalam kurung terlebih dahulu akan membuat hasil yang sama $5(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix})$ $=5\begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 30 & 40 \\ 50 & 60 \end{pmatrix}$

Perkalian Matriks (Matriks $\times$ Matriks)

Ini mungkin akan terlihat lebih rumit dari perkalian skalar yang tidak memiliki syarat khusus agar bisa dikalikan. Untuk perkalian matriks, syarat yang harus dipenuhi adalah jumlah kolom matriks ke-1 dengan jumlah baris matriks ke-2 harus sama.

Sehingga akan menghasilkan matriks dengan jumlah baris yang sama dengan Matriks ke-1 dan jumlah kolom yang sama dengan Matriks ke-2.

A_{(m $\times$ n)} $\times$ B_{(n $\times$ o)} = C_{(m $\times$ o)}

Dalam perkalian matriks kita perlu mengalikan baris 1 matriks A dengan kolom 1 matriks B dan menjumlahkan semuanya. Dan hasilnya akan masuk pada baris 1 kolom 1 matriks C. Begitu seterusnya.

Contohnya

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\end{pmatrix}$$\times$$\begin{pmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\11 & 12\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} 1 \times 7 + 2 \times 9 + 3 \times 11& 1 \times 8 + 2 \times 10 + 3 \times 12 \\ 4 \times 7 + 5 \times 9 + 6 \times 11& 4 \times 8 + 5 \times 10 + 6 \times 12 \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154\end{pmatrix}$

Sifat-Sifat Perkalian Matriks (Matriks $\times$ Matriks)

• $A \times B \neq B \times A$

4. Pembagian

Ini yang kita singgung tadi ketidakadaan operasi membagi dalam matriks itu digantikan oleh perkalian.

Bagaimana bisa pembagian digantikan oleh perkalian? Hasilnya tetap sama?

Yang kita lakukan adalah mengalikan sebuah Matriks dengan Inversnya Matriks itu sendiri. Karena

$\frac{A}{B} = A B^{-1}$

Emang invers $B$ itu $B^{-1}$?

Ya. Sehingga untuk membagikannya kita perlu mencari invers dari matriks pembagi. Tapi ingat kalau

Invers matriks Dari

$\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5\end{pmatrix}$

Tidak Sama Dengan

$\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{5}\end{pmatrix}$

Bagaimana mencari invers dari suatu matriks? Silahkan baca artikel ini dengan sub judul Invers Matriks.

Transpose Matriks

Apa itu transpose matriks? Transpose matriks adalah penukaran elemen baris yang ada pada matriks menjadi elemen kolom.

Notasi dari Matriks Transpose adalah A^T.

Sesuai dengan pengertiannya, untuk mendapatkan matriks transpose dari sebuah matriks maka kita perlu membuat elemen yang ada pada baris menjadi elemen pada kolom. Contoh :

$\begin{pmatrix} 1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 1&4\\2&5\\3&6\end{pmatrix}$

Mudah bukan?

Determinan Matriks

Sebuah matriks hanya akan memiliki determinan jika jumlah baris dan kolom nya sama. Ada perbedaan untuk mendapatkan determinan dari matriks dengan ordo $2 \times 2$ dengan matriks yang ordonya bukan $2 \times 2$.

Notasi Determinan Matriks

Determinan Matriks memiliki notasi sendiri. Notasi (Cara penulisan) determinan ini hampir sama dengan notasi matriks.

Kalau dilihat sekilas, memang sama, tapi ada perbedaannya. Pada matriks, itu diapit oleh tanda kurung siku atau tanda kurung biasa. Kalau determinan matriks itu terlihat seperti diapit oleh 2 garis vertikal. Seperti

$\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}$ atau $\begin{vmatrix} 1&2\\3&4 \end{vmatrix}$

Jadi jangan sampai salah lihat.

Determinan Matriks Ordo $2 \times 2$

Untuk mendapatkan determinan dari sebuah matriks berordo $2 \times 2$ kita hanya perlu mengurangkan hasil perkalian elemen diagonal utama dengan perkalian elemen diagonal samping.

Hasilnya itu adalah determinan untuk matriks berordo $2 \times 2$. Mudah bukan?

$\begin{vmatrix} a&b\\c&d \end{vmatrix} = ad - bc$

Contoh

$\begin{vmatrix} 1&2\\3&4 \end{vmatrix}= (1)(4) - (2)(3)$

$\begin{vmatrix} 1&2\\3&4 \end{vmatrix}= 4-6$

$\begin{vmatrix} 1&2\\3&4 \end{vmatrix}= -2$

Determinan Matriks Ordo lebih dari $3 \times 3$

Determinan matriks A dilambangkan dengan $det(a)$

Untuk mendapatkan determinan dari matriks berordo $3 \times 3$ maka kita perlu mengerjakannya dengan metode Sarrus.

Contoh

$\begin{vmatrix} 1&2&3\\4&5&6 \\7&8&9\end{vmatrix}$

$= [(1)(5)(9)+(2)(6)(7)+(3)(4)(8)]-[(3)(5)(7)+(2)(4)(9)+(1)(6)(8)]$

$= [45 + 84 + 96]-[105 + 72 + 48]$

$= [225-225]$

$= 0$

Invers Matriks

Cara untuk mendapatkan sebuah Invers dari Matriks ordo $2 \times 2$ dengan Matriks ordo $3 \times 3$ berbeda.

Untuk mendapatkan Invers matriks baik $2 \times 2$ atau Matriks ordo $3 \times 3$ didapat dari :

$A^{-1} = \frac{1}{det(A)}(Adj \ A)$

Nah, untuk mencari Adjoin $2 \times 2$ berbeda dengan mencari Adjoin Matriks ordo $3 \times 3$. Kita akan membahas bagaimana mecari Incers matriks dari $2 \times 2$ dan Matriks ordo $3 \times 3$

Invers Matriks ordo $2 \times 2$

$\begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix} ^{-1} = \frac{1}{det(A)} \begin{pmatrix} d&-b\\-c&a \end{pmatrix}$

Dapat kita lihat kalau untuk mendapatkan Adjoin dari matriks yang berordo $2 \times 2$ itu membalikkan posisi elemen diagonal utama dan mengalikan $-1$ diagonal sampingnya.

Contoh

$\begin{pmatrix} 1&2\\3&4 \end{pmatrix} ^{-1} = \frac{1}{det(A)} \begin{pmatrix} 4&-2\\-3&1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1&2\\3&4 \end{pmatrix} ^{-1} = \frac{1}{(1)(4)-(2)(3)} \begin{pmatrix} 4&-2\\-3&1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1&2\\3&4 \end{pmatrix} ^{-1} = \frac{1}{(1)(4)-(2)(3)} \begin{pmatrix} 4&-2\\-3&1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1&2\\3&4 \end{pmatrix} ^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 4&-2\\-3&1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1&2\\3&4 \end{pmatrix} ^{-1} = \begin{pmatrix} -2&1\\ \frac{3}{2}& \frac{-1}{2} \end{pmatrix}$

Berarti Invers dari $\begin{pmatrix} 1&2\\3&4 \end{pmatrix}$ adalah $\begin{pmatrix} -2&1\\ \frac{3}{2}& \frac{-1}{2} \end{pmatrix}$

Untuk menguji apakah invers dari suatu Matriks itu adalah benar, kita cukup kalikan saja Matriks dengan Invers Matriks itu sendiri (Bisa dibilang dibagi Matriks itu sendiri). Nanti akan menghasilkan Matriks Identitas.

Karena sesuai dengan

$A \times A^{-1} = I(Matriks \ Identitas)$

$ \begin{pmatrix} 1&2\\3&4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -2&1\\ \frac{3}{2}& \frac{-1}{2} \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} (1)(-2)+(2)(\frac{3}{2})&(3)(-2)+(4)(\frac{3}{2})\\(1)(1)+(2)(-\frac{1}{2})&(3)(1)+(4)(-\frac{1}{2}) \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix}$

Berarti yang kita kerjakan sudah benar

Invers Matriks Ordo $3x3$

Walaupun sama-sama menggunakan rumus $A^{-1} = \frac{1}{det(A)}(Adj \ A)$ untuk mendapatkan inversnya, tapi cara untuk mendapatkan Adjoin dari matriks ordo $3 \times 3$ berbeda dengan mencari adjoin dari matriks $2 \times 2$.

Untuk mendapatkan Adjoin dari matriks $3 \times 3$ kita perlu mencari yang namanya Matriks Minor, Matriks Kofaktor, dan Transpose dari Matriks Kofaktor tersebut. Transpose dari Matriks Kofaktor itulah Adjoin dari Matriks Ordo $3 \times 3$.

Supaya lebih paham kita buat contoh mencari invers dari Matriks $A=\begin{pmatrix} 0&2&3\\4&5&6\\7&8&9 \end{pmatrix}$

Determinan

Pertama-tama kita cari dulu determinan dari Matriks ordo 3x3 tersebut.

$\begin{vmatrix} 0&2&3\\4&5&6\\7&8&9 \end{vmatrix}$

$= [(0)(5)(9)+(2)(6)(7)+(3)(4)(8)]-[(3)(5)(7)+(2)(4)(9)+(0)(6)(8)$

$= [0 + 84 + 96]-[105 + 72 + 0]$

$= [180-177]$

$= 3$

Matriks Minor

Untuk mendapatkan Matriks Minor dari Matriks Ordo $3 \times 3$, kita perlu mencari elemen (i,j) ketika baris ke $i$ dan kolom ke $j$ dihilangkan.

Contohnya untuk Mencari Matriks Minor baris 1 kolom 1 (atau A_(1,1) maka kita perlu menghilangkan baris ke-1 dan kolom ke-1. Matriks Minor baris 1 kolom 2 (atau A_(1,2) maka kita perlu menghilangkan baris ke-1 dan kolom ke-2. Begitu Seterusnya.

Contohnya kita akan mencari Matriks Minor dari $A= \begin{pmatrix} 0&2&3\\4&5&6\\7&8&9 \end{pmatrix}$

misalkan kita simbolkan m = Matriks Minor

m_(1,1) = $\begin{pmatrix} & & \\ &5&6\\ &8&9 \end{pmatrix}$ (hilangkan baris ke-1 kolom ke-1)

m_(1,2) =$\begin{pmatrix} & & \\4& &6\\7& &9 \end{pmatrix}$ (hilangkan baris ke-1 kolom ke-2)

m_(1,3) =$\begin{pmatrix} & & \\4&5& \\7&8& \end{pmatrix}$ (hilangkan baris ke-1 kolom ke-3)

m_(2,1) =$\begin{pmatrix} &2&3 \\ & & \\ &8&9 \end{pmatrix}$ (hilangkan baris ke-2 kolom ke-1)

m_(2,2) =$\begin{pmatrix} 0& &3\\ & & \\7& &9 \end{pmatrix}$ (hilangkan baris ke-2 kolom ke-2)

m_(2,3) =$\begin{pmatrix} 0&2& \\ & & \\7&8& \end{pmatrix}$ (hilangkan baris ke-2 kolom ke-3)

m_(3,1) =$\begin{pmatrix} &2&3\\ &5&6\\ & & \end{pmatrix}$ (hilangkan baris ke-3 kolom ke-1)

m_(3,2) =$\begin{pmatrix} 0& &3\\4& &6\\ & & \end{pmatrix}$ (hilangkan baris ke-3 kolom ke-2)

m_(3,3) =$\begin{pmatrix} 0&2& \\4&5& \\ & & \end{pmatrix}$ (hilangkan baris ke-3 kolom ke-3)

Kofaktor

Setelah kita mendapatkan matriks minornya , kita perlu mencari determinan dari masing masing matriks minor tadi. Kemudian ada lagi rumus penempatannya, yaitu

C= Kofaktor

$C_{(i,j)} =(-1)^{i+j} \begin{vmatrix} m_{(i,j)} \end{vmatrix} $

Untuk cara cepatnya, ingat aja penempatannya. Dimana dia bernilai positif dan dimana dia bernilai negatif. Nanti kalau determinannya bernilai negatif dan penempatannya ternyata di tempat yang negatif, maka kita buat menjadi positif. Mengerti?

Kita lihat penempatannya :

$\begin{pmatrix} +&-&+ \\-&+&- \\+&- & + \end{pmatrix}$

Kita Coba tempatkan determinan matriks minor ini di tempatnya supaya kita mendapatkan kofaktornya.

C_(1,1) = $\begin{vmatrix} 5&6\\8&9 \end{vmatrix} = (5)(9)-(6)(8) = -3$

C_(1,2) =$-\begin{vmatrix} 4&6\\7&9 \end{vmatrix} = (4)(9)-(6)(7) = -6$

C_(1,3) =$\begin{vmatrix} 4&5\\7&8\end{vmatrix} = (4)(8)-(5)(7) = -3$

C_(2,1) =$-\begin{vmatrix} 2&3\\8&9 \end{vmatrix}= (2)(9)-(3)(8) = -6$

C_(2,2) =$\begin{vmatrix} 0&3\\7&9 \end{vmatrix} = (0)(9)-(3)(7) = -21$

C_(2,3) =$-\begin{vmatrix} 0&2\\7&8\end{vmatrix} = (0)(8)-(2)(7) = -14$

C_(3,1) =$\begin{vmatrix} 2&3\\ 5&6\end{vmatrix} = (2)(6)-(3)(5) = -3$

C_(3,2) =$-\begin{vmatrix} 0&3\\4&6\end{vmatrix} = (0)(6)-(3)(4) = -12$

C_(3,3) =$\begin{vmatrix} 0&2\\4&5\end{vmatrix} = (0)(5)-(2)(4) = -8$

$Kofaktor = \begin{pmatrix} +(-3)&-(-6)&+(-3) \\-(-6)&+(-21)&-(-14) \\+(-3)&-(-12) & +(-8) \end{pmatrix}$

$Kofaktor = \begin{pmatrix} -3&6&-3 \\6&-21&14 \\-3&12 & -8 \end{pmatrix}$

Adjoin

Nah kalau sudah mendapatkan Kofaktornya, kita Transposkan untuk mendapatkan Adjoinnya

$\begin{pmatrix} -3&6&-3 \\6&-21&14 \\-3&12 & -8 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} -3&6&-3 \\6&-21&12 \\-3&14 & -8 \end{pmatrix}$

Nah, setelah kita mendapatkan Determinan dan Adjoinnya, Kita sudah bisa mencari Inversnya.

$\begin{pmatrix} 0&2&3\\4&5&6\\7&8&9 \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{det(A)}(Adj \ A)$

$\begin{pmatrix} 0&2&3\\4&5&6\\7&8&9 \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} -3&6&-3 \\6&-21&12 \\-3&14 & -8 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 0&2&3\\4&5&6\\7&8&9 \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} -1&2&-1 \\2&-7&4 \\-1&\frac{14}{3} & -\frac{8}{3} \end{pmatrix}$

Kita telah mendapatkan Inversnya. Mari kita buktikan apakah itu akan menghasilkan matriks identitas jika dikalikan matriksnya.

$\begin{pmatrix} 0&2&3\\4&5&6\\7&8&9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1&2&-1 \\2&-7&4 \\-1&\frac{14}{3} & -\frac{8}{3} \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} (0)(-1)+(2)(2)+(3)(-1)&(0)(2)+(2)(-7)+(3)(\frac{14}{4})&(0)(-1)+(2)(4)+(3)(-\frac{8}{3})\\(4)(-1)+(5)(2)+(6)(-1)&(4)(2)+(5)(-7)+(6)(\frac{14}{3})&(4)(-1)+(5)(4)+(6)(-\frac{8}{3})\\(7)(-1)+(8)(2)+9)(-1)&(7)(2)+(8)(-7)+(9)(\frac{14}{3})&(7)(-1)+(8)(4)+9)(-\frac{8}{3}) \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} 0+4-3&0-14+14&0+8-8 \\-4 + 10 -6&8 - 35 + 28&-4 + 20 -16 \\-7 + 16 -9&14 -56 + 42 & -7 + 32 -24\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$

Terbukti kalau invers dari $\begin{pmatrix} 0&2&3\\4&5&6\\7&8&9 \end{pmatrix}$ adalah $\begin{pmatrix} -1&2&-1 \\2&-7&4 \\-1&\frac{14}{3} & -\frac{8}{3} \end{pmatrix}$

Jadi dapat kita simpulkan kalau untuk mencari Invers dari Matriks berordo $3 \times 3$, kita perlu mencari Determinan dan Adjoin. Namun untuk mendapatkan Adjoin kita perlu mencari Matriks Minor dan Kofaktor.

Demikianlah pembahasan Matriks yang dapat saya bahas pada kesempatan ini. Jika ada yang kurang jelas atau ada informasi yang salah silahkan berikan komentarmu.