Limit Fungsi

A. Definisi Limit

Limit suatu fungsi f(x) untuk x mendekati a adalah harga pendekatan dari f(x) pada saat x mendekati nilai a.

Limit dinotasikan dengan

$\lim_{x \to a}f(x)= N$

*Dimana N adalah nilai pendekatan suatu fungsi untuk x di sekitar a

B. Teorema Limit atau Sifat-Sifat Limit

1. $\lim_{x \to a}f(x) = c$ Jika f(x) = c (konstanta)
2. $\lim_{x \to a}f(x) = a$ Jika f(x) = x
3. $\lim_{x \to a}c \times f(x) = c \times \lim_{x \to a}f(x)$ Jika c adalah konstanta
4. $\lim_{x \to a}(f(x) \pm g(x)) = \lim_{x \to a}f(x) \pm \lim_{x \to a}g(x)$
5. $\lim_{x \to a}(f(x) \times g(x)) = \lim_{x \to a}f(x) \times \lim_{x \to a}g(x)$
6. $\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a}f(x)}{\lim_{x \to a}g(x)}$
7. $\lim_{x \to a}\left \{ f(x) \right \}^n = \left \{\lim_{x \to a}f(x) \right\}^n$

C. Limit Fungsi Aljabar

Untuk menyelesaikan limit fungsi aljabar, dapat diselesaikan dengan substitusi langsung. Namun jika mendapatkan hasil $\frac{0}{0}$, kamu dapat menggunakan metode-metode sebagai berikut :

1. Pemfaktoran

Uraikan aljabar menjadi perkalian faktor-faktornya, sehingga penghasil $\frac{0}{0}$ dapat saling menghabiskan

2. Merasionalkan bentuk akar

Jika di soal ada bentuk akar,kamu dapat mengalikan dengan akar sekawan.

3. Dalil L'Hospital

Menurunkan fungsi soal kemudian disubstitusi langsung. Jika tetap menghasilkan bentuk $\frac{0}{0}$, maka turunkan lagi sampai bentuknya tidak $\frac{0}{0}$. Namun jika sudah mendapatkan bentuk yang bukan $\frac{0}{0}$, jangan turunkan lagi.

D. Limit Fungsi Trigonometri

Berbeda dengan Limit Fungsi Aljabar, Limit Fungsi Trigonometri terbagi menjadi beberapa kondisi, yaitu :

• $\lim_{x \to a}f(x)$ (Limit X menuju bilangan asli)
• $\lim_{x \to 0}f(x)$ (Limit X menuju 0)
• $\lim_{x \to \infty}f(x)$ (Limit X Menuju Tak Hingga).

1. Limit x Menuju Bilangan Asli

• $\lim_{x \to a}sin(x) = sin(a)$
• $\lim_{x \to a}cos(x) = sin(a)$
• $\lim_{x \to a}tan(x) = sin(a)$
• $\lim_{x \to a}csc(x) = sin(a)$
• $\lim_{x \to a}sec(x) = sin(a)$
• $\lim_{x \to a}cot(x) = sin(a)$

2. Limit x Menuju 0

Untuk kondisi yang satu ini, kamu perlu mengetahui sifat - sifat limit trigonometri berikut :

• $\lim_{x \to 0}\frac{sin(x)}{x} = 1$
• $\lim_{x \to 0}\frac{sin(x)}{x} = 1$
• $\lim_{x \to 0}\frac{x}{sin(x)} = 1$
• $\lim_{x \to 0}\frac{x}{tan(x)} = 1$
• $\lim_{x \to 0}\frac{sin(ax)}{bx} = \frac{a}{b}$
• $\lim_{x \to 0}\frac{tan(ax)}{bx} = \frac{a}{b}$
• $\lim_{x \to 0}\frac{ax}{sin(bx)} = \frac{a}{b}$
• $\lim_{x \to 0}\frac{ax}{sin(bx)} = \frac{a}{b}$

3. Limit x Menuju Tak Hingga

Untuk kondisi limit x menuju tak hingga, kamu perlu mengubahnya ke limit x mendekati 0 dengan cara mengubah varibel limitnya.

$\lim_{x \to \infty}sin(x)$

Kita buat varibel baru y yang nilainya 0 sehingga kita dapat bisa mendapat bentuk $\lim_{y \to0}sin(y)$

Nah, untuk mengubah bentuknya, kita harus mencari hubungan antara x dan y.

Untuk mendapatkan nilai nol kita bisa membuat $y=\frac{1}{\infty}$ karena tak hingga merupakan nilai dari x, maka kita mendapatkan bentuk $y=\frac{1}{x}$.

Sehingga kita mendapatkan bentuk

$\lim_{y \to 0}sin(y) = \lim_{y \to 0}sin(\frac{1}{x})$

Kalau sudah didapat bentuk $\lim_{x \to 0}$, tinggal mengikuti sifat limit trigonometri