Pengertian Logaritma
Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan atau invers dari perpangkatan/eksponensial.
Jika terdapat suatu perpangkatan atau eksponensial seperti berikut
ab = c
Maka bentuk atau rumus logaritmanya adalah sebagai berikut
alog c = b
Namun bisa juga yang menuliskannya seperti ini
loga b = c
Komponen dalam logaritma :
- a disebut sebagai basis logaritma
- b disebut sebagai numerus logaritma
- c disebut sebagai nilai logaritma
Aturan Logaritma
Berikut adalah beberapa aturan dalam logaritma.
Jika basis tidak ditulis, maka basisnya adalah 10
Jika basis logaritma adalah 10 seperti ini
$^{10}log\ n$ atau $log_{10}\ n$
Maka basis logaritma dapat tidak ditulis seperti ini
$log\ n $
Contohnya seperti $^{10}log\ 28$ itu bisa ditulis menjadi $log\ 28$.
Basis harus lebih besar dari 1
Ingat lebih besar dari 1 berarti 2, 3, 4, 5, …, dst.
Kenapa tidak boleh 0?
Jika basisnya 0, maka logaritma tersebut tidak ada jawaban karena 0 pangkat berapapun pasti 0.
Kemudian kenapa tidak boleh 1?
Sama seperti tadi, 1 dipangkatkan berapapun hasilnya pasti 1.
Contoh Logaritma
Untuk lebih memperjelas apa itu logaritma, kita bisa lihat tabel berikut
|
Bentuk Perpangkatan |
Bentuk Logaritma |
|
$a^b = c$ |
$^{a}log\ c = b$ |
|
$2^3 = 8$ |
$^{2}log\ 8 = 3$ |
|
$4^{\frac{1}{2}} = 2$ |
$^{4}log\ 2 = \frac{1}{2}$ |
|
$2^{-3} = \frac{1}{8}$ |
$^{2}log\ \frac{1}{8} = -3$ |
|
$\frac{1}{2}^3 = \frac{1}{8}$ |
$^{\frac{1}{2}}log\ \frac{1}{8} = 3$ |
|
$10^{4} = 10000$ |
$log\ 10000 = 4$ |
|
$2^\frac{1}{2} = \sqrt{2}$ |
$^{2}log\ \sqrt{2} = \frac{1}{2}$ |
Cara Mencari Logaritma
Jika diberikan contoh soal, hitunglah $^{3}log\ 27$
Maka yang harus kita lakukan adalah mencari 3 pangkat berapa yang hasilnya 27.
Maka kita dapat menjawab bahwa $^{3}log\ 27 = 3$.
Tapi bagaimana jika bilangannya semakin menyusahkan?
Contohnya seperti hitunglah $^{2}log\ 512$.
Maka kita dapat membuat persamaan untuk menyelesaikannya. Kita anggap saja jawabannya adalah variabel x.
$^{2}log\ 512 = x$
Maka kita bisa ubah persamaan tersebut menjadi bentuk pangkat menjadi
$2^x = 512$
Nah, sekarang telah menjadi persamaan eksponensial. 512 kita bisa ubah menjadi $2^9$, sehingga
$2^x = 2^9$
Karena basis sudah sama, berarti x nya adalah 9.
Nah, kita sudah mendapatkan jawabannya $^{2}log\ 512 = 9$.
Itu adalah cara dasar untuk mencari nilai dari suatu logaritma. Mungkin terdengar cukup ribet jika kamu baru pertama kali mempelajari logaritma ini, tapi dengan berbagai latihan, logaritma ini akan menjadi lebih mudah.
Di tingkat siswa/i, biasanya mencari nilai logaritma langsung jarang ditanyakan.
Contohnya seperti hitunglah nilai dari $^{2}log\ 3$
Itu jarang ditanyakan.
Biasanya lebih banyak dimainkan di sifat-sifat logaritmanya.
Contoh soal yang memainkan sifat-sifat logaritma itu seperti ini
Nilai dari $^{2}log 2 +\ ^{2}log 2 +\ ^{2}log 7 +\ ^{2}log 16 -\ ^{2}log 28$ adalah …
Jangan ngeluh dulu hehe.
Sebelum bisa mengerjakan soal-soal seperti itu, kita harus terlebih dahulu mengetahui operasi dan sifat-sifat dari logaritma.
Sifat Sifat Logaritma dan Contohnya
Sekarang kita akan membahas seputar sifat-sifat logaritma yang dapat membantumu dalam melakukan perhitungan logaritma.
Penjumlahan Logaritma
Jika terdapat logaritma dengan basis yang sama dijumlahkan, maka kamu dapat langsung mengalikan numerusnya.
$^{a}log\ b \ +\ ^{a}log\ c\ =\ ^{a}log\ bc$
Hal ini juga berlaku sebaliknya. Jika ada 2 numerus yang dikalikan dalam satu logaritma, maka logaritma tersebut dapat dipecah menjadi penjumlah logaritma dengan basis yang sama.
$^{a}log\ bc =\ ^{a}log\ b \ +\ ^{a}log\ c$
Contohnya seperti $^{2}log\ 24$
24 bisa kita ubah ke bentuk perkalian yaitu $3\ \cdot\ 8$
$=\ ^{2}log\ (3 \cdot\,8)$
$=\ ^{2}log\ 3 \ +\ ^{2}log\ 8$
Sehingga kita hasilnya menjadi
$=\ ^{2}log\ 3 \ +\ 3$
Pengurangan Logaritma
Ini kebalikan yang penjumlahan tadi. Kalau pada saat penjumlahan kita dapat mengubahnya menjadi perkalian, di pengurangan kita dapat mengubahnya menjadi pembagian numerus.
$^{a}log\ b\ -\ ^{a}log\ c\ =\ ^{a}log\ \frac{b}{c}$
Contohnya seperti ini
$^{3}log\ 4\ -\ ^{3}log\ 7$
$=\ ^{3}log\ \frac{4}{7}$
Contoh lainnya seperti ini
$^{7}log\ 9\ -\ ^{7}log\ 12$
$=\ ^{7}log\ \frac{9}{12}$
Perkalian Logaritma
Jika numerus logaritma pertama dan basis logaritma kedua adalah sama dan kedua logaritma tersebut dikalikan, maka akan menghasilkan logaritma dengan basis logaritma pertama dan numerus logaritma kedua.
$^{a}log\ b\ \times\ ^{b}log\ c\ =\ ^{a}log\ c$
Contohnya seperti
$^{2}log\ 3\ \times\ ^{3}log\ 4$
$=\ ^{2}log\ 4$
Contoh lainnya seperti ini
$^{3}log\ 7\ \times\ ^{7}log\ 11$
$=\ ^{3}log\ 11$
alog a = 1
Jika basisnya sama dengan numerusnya, maka hasil dari logaritma tersebut pasti 1.
Hal ini karena suatu bilangan yang dipangkatkan dengan 1 hasilnya bilangan itu sendiri.
Contohnya seperti
- $^{2}log\ 2 = 1$
- $^{100}log\ 100 = 1$
- $^{23}log\ 23 = 1$
alog 1 = 0
Jika numerusnya adalah 1, maka hasilnya pasti 0.
Kenapa?
Karena bilangan berapapun kecuali 0, jika dipangkatkan 0, hasilnya pasti 1.
Contohnya seperti ini
- $^{2}log\ 1 = 0$
- $^{100}log\ 1 = 0$
- $^{23}log\ 1 = 0$
$^{a^{m}}log\ b^n = \frac{m}{n}\ ^{a}log\ b$
Jika basis dan numerusnya mempunyai pangkat, maka kamu bisa langsung membagi pangkat dari bilangan numerus dengan pangkat dari bilangan basis logaritmanya kemudian dikalikan dengan logaritmanya tanpa pangkat.
Contohnya seperti
$^{2^{3}}log\ 8^3$
$= \frac{3}{3}\ ^{2}log\ 8$
$=\ 1\ ^{2}log\ 8$
Nah, sebenarnya kita bisa memanfaatkan sifat ini lagi. 8 bisa kita ubah menjadi $2^3$
$=\ ^{2}log\ 2^3$
$= \frac{3}{1}\ ^{2}log\ 2$
$=3$
Sifat ini juga dapat digunakan untuk menyederhanakan logaritma seperti berikut.
$^{2^{3}}log\ 3^4$
$= \frac{4}{3}\ ^{2}log\ 3$
$^{a}log\ b = \frac{1}{^{b}log\ a}$
Jika kamu mempunyai sebuah logaritma, kamu dapat membuat logaritma tersebut di penyebut dan membalikkan posisi antara basis dan numerusnya.
Contohnya kita mempunyai soal $^{8}log\ 2$
Dengan sifat ini kita bisa mengubah bentuknya menjadi $\frac{1}{^{2}log\ 8}$
Hasilnya menjadi $\frac{1}{3}$.
$^{a}log\ b = \frac{^{p}log\ a }{^{p}log\ b }$
Ketika kita mempunyai sebuah logaritma, maka kita dapat mengubahnya menjadi pembagian 2 logaritma dengan basis yang sama.
Contohnya ketika mempunyai $^{9}log\ 2$
Kita bisa mengubahnya menjadi $\frac{^{p}log\ 9 }{^{p}log\ 2 }$
Untuk p nya, kita bebas ingin menggunakan angka berapa saja. Tapi ingat, basis harus lebih besar dari 1.
Pada kasus ini, kita coba membuat p nya 2 supaya penyebutnya menjadi $^{2}log\ 2$.
$= \frac{^{2}log\ 9 }{^{2}log\ 2 }$
$=\ ^{2}log\ 9$
Terlihat lebih sederhana kan? Kita bisa sederhanakan lagi dengan menggunakan sifat sebelumnya yang sudah kita bahas.
$=\ ^{2}log\ 3^{2}$
$=\frac{2}{1}\ ^{2}log\ 3$
$a^{^{a}log\ b} = b$
Contohnya seperti
- $2^{^{2}log\ 8} = 8$
- $10^{log\ 3} = 3$
- $10^{log\ \frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$
Manfaat Logaritma
Bagi kamu yang bingung ngapain belajar logaritma selain untuk ujian, logaritma mempunyai manfaat atau kegunaannya di kehidupan kita.
Menentukan Derajat Keasaman
Di Kimia, kamu dapat mempelajari yang namanya pH atau derajat keasaman.
Nah, untuk menentukan keasaman itu, nantinya menggunakan logaritma ini.
Mengukur Kekuatan Gempa Bumi
Pernah mendengar istilah skala richter?
Nah untuk menghitungnya juga menggunakan logaritma.
Kriptografi
Mungkin bagi kamu yang suka komputer nggak asing lagi dengan istilah ini.
Kriptografi adalah cara untuk menyandikan suatu pesan.
Ada berbagai cara dan rumus yang digunakan dalam kriptografi.
Nah beberapa cara atau rumus tersebut juga menggunakan logaritma.
Rangkuman
- Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan invers dari perpangkatan
- Terdapat 2 aturan dalam logaritma yaitu basis 10 tidak ditulis dan basis harus lebih besar dari 1
- Terdapat berbagai sifat dalam logaritma
- Logaritma berguna dalam kehidupan sehari-hari